Меню

Решебник ГДЗ по математике ЕГЭ и ОГЭ ГИА по математике

Тест. Векторы в пространстве

Avatar

Список вопросов теста

Вопрос 1

Выберите верные утверждения

Варианты ответов
  • Отрезок, для которого указано,какой из его концов считается началом, а какой — концом, называется вектором
  • Любая точка пространства может рассматриваться как вектор
  • Длиной ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ
  • Векторы называются равными, если их длины равны
  • От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один
Вопрос 2

Выберите неверное утверждение

Варианты ответов
  • Сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются
  • Вопрос 3

    Укажите вектор, равный сумме \(\overrightarrow+\overrightarrow+\overrightarrow+\overrightarrow+\overrightarrow+\overrightarrow\)

    Варианты ответов
    Вопрос 4

    Выберите верные утверждения

    Варианты ответов
    • Три вектора называются компланарными, если при откладывании от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости
    • Три вектора, среди которых имеются два сонаправленных вектора, компланарны
    • Два любых вектора некомпланарны
    • При сложении трёх некомпланарных векторов можно пользоваться правилом параллелепипеда
    Вопрос 5

    Векторы \(\overrightarrow+\overrightarrow-\overrightarrow\) и \(\overrightarrow-\overrightarrow-\overrightarrow\) являются

    Варианты ответов
    • противоположными
    • равными
    • сонаправленными
    • нулевыми
    Вопрос 6

    В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) АВ=8 см, \(АА_1=6\ см\) . Найдите длину вектора \(\overrightarrow<СВ>-\overrightarrow<СА>+\overrightarrow<В_1С_1>-\overrightarrow<В_1С>\ \ \)

    в ответе введите число без единиц измерения

    Вопрос 7

    DABC — тетраэдр. \(\overrightarrow=\overrightarrow-\vec-\overrightarrow\ \ \ Тогда\ \vec=\ . \)

    Варианты ответов
    Вопрос 8

    Диагонали куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) пересекаются в точке О. Найдите такое число k,что \(\overrightarrow<ОВ_1>=k\overrightarrow\)

    Вопрос 9

    Вставьте недостающее слово:

    Любой вектор можно разложить по трём данным . . . векторам. Причём коэффициенты разложения определяются единственным образом

    Источник

    Решебник ГДЗ по математике. ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

    Решение заданий любой сложности.

    Страницы

    Nolix

    Дан куб ABCDA1B1C1D1 c ребром, равным a

    Дан куб ABCDA1B1C1D1 c ребром, равным a. Точка K принадлежит ребру AB, точка L — ребру CD. При этом АК:КВ=1:3, CL:LD=1:4. Проведена прямая KL.

    Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно. Без шуток. ЗДЕСЬ

    A1. Укажите точку пересечения прямой KL и плоскости A1D1D;
    A2. Найдите точку пересечения прямых KL и BC;
    A3. Укажите линию пересечения плоскостей ABC и B1EF

    B1. Найдите длину отрезка B1K
    B2. Вычислите длину отрезка KL

    C1. Найдите длину отрезка EF

    Решение:
    А1.

    Если продлим плоскость A1D1D то общей точкой пересечения будет точка Е

    KL линия пересечения плоскостей ABC и B1EF

    B1. Проведем отрезок B1K

    Из прямоугольного треугольника KBB1 найдем B1K

    Сторона B1B=a
    Сторона KB=3a/4 (сторона AB равна 4 частям, а KB составляет 3 части из 4)

    B1K^2=KB^2+BB1^2
    B1K^2=(0,75a)^2+a^2
    B1K^2=0,5625a^2+a^2
    B1K^2=1,5625a^2
    B1K=1,25a

    B2. BCLK-прямоугольная трапеция

    Проведем высоту LT=BC=a
    BT=x
    TK=3x-x=2x=0,5a (сторона AB равна 4 частям, а ТК составляет 2 части из 4)
    Из прямоугольного треугольника TLK найдем LK

    Источник

    

    Abcda1b1c1d1 куб найдите вектор равный aa1 dc1 bc тест

    Задание 8. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми DC1 и BD. Ответ дайте в градусах.

    Сделаем чертеж и отметим линии DC1 и BD:

    Угол между прямыми DC1 и BD – это угол в плоскости DBC1. Можно заметить, что эта плоскость определяется тремя равными отрезками BD, DC1 и BC1 – как диагонали куба. Следовательно, треугольник DBC1 – равносторонний с углами в 60º. Значит, угол между прямыми DC1 и BD равен 60º.

    Ответ: 60

    • 1
    • 2
    • 3
    • 4
    • 5
    • 6
    • 7
    • 8
    • 9
    • 10
    • 11
    • 12
    • 13
    • 14
    • 15
    • 16
    • 17
    • 18
    • 19
    • Вариант 1
    • Вариант 1. Задания по ЕГЭ 2021. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
    • Решения заданий по номерам
      • 1
      • 2
      • 3
      • 4
      • 5
      • 6
      • 7
      • 8
      • 9
      • 10
      • 11
      • 12
      • 13
      • 14
      • 15
      • 16
      • 17
      • 18
      • 19
    • Вариант 2
    • Вариант 2. Задания по ЕГЭ 2021. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
    • Решения заданий по номерам
      • 1
      • 2
      • 3
      • 4
      • 5
      • 6
      • 7
      • 8
      • 9
      • 10
      • 11
      • 12
      • 13
      • 14
      • 15
      • 16
      • 17
      • 19
    • Вариант 3
    • Вариант 3. Задания по ЕГЭ 2021. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
    • Решения заданий по номерам
      • 1
      • 2
      • 3
      • 4
      • 5
      • 6
      • 7
      • 8
      • 9
      • 10
      • 11
      • 12
      • 13
      • 14
      • 15
      • 16
      • 17
      • 19
    • Вариант 4
    • Вариант 4. Задания по ЕГЭ 2021. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
    • Решения заданий по номерам
      • 1
      • 2
      • 3
      • 4
      • 5
      • 6
      • 7
      • 8
      • 9
      • 10
      • 11
      • 12
      • 13
      • 14
      • 15
      • 16
      • 17
      • 19
    • Вариант 5
    • Вариант 5. Задания по ЕГЭ 2021. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
    • Решения заданий по номерам
      • 1
      • 2
      • 3
      • 4
      • 5
      • 6
      • 7
      • 8
      • 9
      • 10
      • 11
      • 12
      • 13
      • 15
      • 16
      • 17
      • 19
    • Вариант 6
    • Вариант 6. Задания по ЕГЭ 2021. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
    • Решения заданий по номерам
      • 1
      • 2
      • 3
      • 4
      • 5
      • 6
      • 7
      • 8
      • 9
      • 10
      • 11
      • 12
      • 13
      • 15
      • 16
      • 17
      • 19
    • Вариант 7
    • Вариант 7. Задания по ЕГЭ 2021. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
    • Решения заданий по номерам
      • 1
      • 2
      • 3
      • 4
      • 5
      • 6
      • 7
      • 8
      • 9
      • 10
      • 11
      • 12
      • 13
      • 14
      • 15
      • 16
      • 17
      • 18
      • 19
    • Вариант 8
    • Вариант 8. Задания по ЕГЭ 2021. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
    • Решения заданий по номерам
      • 1
      • 2
      • 3
      • 4
      • 5
      • 6
      • 7
      • 8
      • 9
      • 10
      • 11
      • 12
      • 13
      • 14
      • 15
      • 17
      • 19
    • Вариант 9
    • Вариант 9. Задания по ЕГЭ 2021. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
    • Решения заданий по номерам
      • 1
      • 2
      • 3
      • 4
      • 5
      • 6
      • 7
      • 8
      • 9
      • 10
      • 11
      • 12
      • 13
      • 15
      • 16
      • 17
      • 19
    • Вариант 10
    • Вариант 10. Задания по ЕГЭ 2021. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
    • Решения заданий по номерам
      • 1
      • 2
      • 3
      • 4
      • 5
      • 6
      • 7
      • 8
      • 9
      • 10
      • 11
      • 12
      • 13
      • 14
      • 15
      • 16
      • 17
      • 19
    • Вариант 11
    • Полностью совпадает с Вариант 1. Задания по ЕГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень
    • Вариант 12
    • Полностью совпадает с Вариант 2. Задания по ЕГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень
    • Вариант 13
    • Полностью совпадает с Вариант 3. Задания по ЕГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень
    • Вариант 14
    • Полностью совпадает с Вариант 4. Задания по ЕГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень
    • Вариант 15
    • Полностью совпадает с Вариант 5. Задания по ЕГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень
    • Вариант 16
    • Полностью совпадает с Вариант 6. Задания по ЕГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень
    • Вариант 17
    • Полностью совпадает с Вариант 7. Задания по ЕГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень
    • Вариант 18
    • Полностью совпадает с Вариант 8. Задания по ЕГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень
    • Вариант 19
    • Полностью совпадает с Вариант 9. Задания по ЕГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень
    • Кроме заданий:
      • 19
    • Вариант 20
    • Полностью совпадает с Вариант 10. Задания по ЕГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень
    • Кроме заданий:
      • 19
    • Вариант 21
    • Полностью совпадает с Вариант 11. Задания по ЕГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень
    • Вариант 22
    • Полностью совпадает с Вариант 12. Задания по ЕГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень
    • Вариант 23
    • Полностью совпадает с Вариант 13. Задания по ЕГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень
    • Вариант 24
    • Полностью совпадает с Вариант 14. Задания по ЕГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень
    • Вариант 25
    • Полностью совпадает с Вариант 15. Задания по ЕГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень
    • Вариант 26
    • Полностью совпадает с Вариант 16. Задания по ЕГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень
    • Вариант 27
    • Полностью совпадает с Вариант 17. Задания по ЕГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень
    • Вариант 28
    • Полностью совпадает с Вариант 18. Задания по ЕГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень
    • Кроме заданий:
      • 19
    • Вариант 29
    • Полностью совпадает с Вариант 19. Задания по ЕГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень
    • Кроме заданий:
      • 13
      • 15
      • 17
      • 18
      • 19
    • Вариант 30
    • Полностью совпадает с Вариант 20. Задания по ЕГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень
    • Кроме заданий:
      • 19
    • Вариант 31
    • Полностью совпадает с Вариант 21. Задания по ЕГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень
    • Вариант 32
    • Полностью совпадает с Вариант 22. Задания по ЕГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень
    • Кроме заданий:
      • 3
    • Вариант 33
    • Полностью совпадает с Вариант 23. Задания по ЕГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень
    • Кроме заданий:
      • 14
    • Вариант 34
    • Полностью совпадает с Вариант 24. Задания по ЕГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень
    • Вариант 35
    • Полностью совпадает с Вариант 25. Задания по ЕГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень
    • Кроме заданий:
      • 15
    • Вариант 36
    • Полностью совпадает с Вариант 26. Задания по ЕГЭ 2020. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень
    • Кроме заданий:
      • 15
    Читайте также:  Помогите пожалуйста тест решить по химии

    Для наших пользователей доступны следующие материалы:

    • Инструменты ЕГЭиста
    • Наш канал

    Источник

    ЕГЭ. Задание 14. Стереометрия

    Подготовка к профильному уровню единого государственного экзамена по математике. Полезные материалы по стереометрии, видеоразборы задач и подборка заданий прошлых лет.

    Полезные материалы

    Подборки видео и онлайн-курсы

    • Все ролики с заданием 14
    • Все ролики по стереометрии
    • Мини-курс «Задачи по стереометрии на ЕГЭ по математике (задача №14)»
    • Мини-курс «Векторный метод в пространстве»

    Как решать стереометрию

    Теорема о трёх перпендикулярах

    Как найти объем. Принцип Кавальери

    Видеоразборы задач

    В треугольной пирамиде $SABC$ $SB=SC=AC=AB=\sqrt<17>$, $SA= BC = 2\sqrt5$.
    а) Докажите, что прямые $BC$ и $SA$ перпендикулярны.
    б) Найдите расстояние между прямыми $BC$ и $SA$.

    В прямом круговом конусе с вершиной $S$ и центром основания $O$ радиус основания равен 13, а высота равна $3\sqrt<41>$. Точки $A$ и $B$ — концы образующих, $M$ — середина $SA$, $N$ — точка в плоскости основания такая, что прямая $MN$ параллельна прямой $SB$.
    а) Докажите что угол $ANO$ — прямой.
    б) Найдите угол между $MB$ и плоскостью основания, если дополнительно известно что $AB = 10$.

    В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все рёбра равны 2. Точка $M$ — середина ребра $AA_1$.
    а) Докажите, что прямые $MB$ и $B_1C$ перпендикулярны.
    б) Найдите расстояние между прямыми $MB$ и $B_1C$.

    На окружности одного из оснований прямого кругового цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$ — образующая цилиндра, а отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра.
    а) Докажите, что угол $C_1BA$ прямой.
    б) Найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$, если $AB=12$, $BB_1=4$ и $B_1C_1 = 3$.

    Дана правильная четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На ребре $AA_1$ отмечена точка $K$ так, что $AK : KA_1 = 1 : 2$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $B$ и $K$ параллельно прямой $AC$. Эта плоскость пересекает ребро $DD_1$ в точке $M$.
    а) Докажите, что $DM : MD_1 = 2 : 1$.
    б) Найдите площадь сечения, если $AB = 4$, $AA_1 = 6$.

    Длина диагонали куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна 3. На луче $A_1C$ отмечена точка $P$ так, что $A_1P = 4$.
    a) Докажите, что грань $PBDC_1$ — правильный тетраэдр.
    б) Найдите длину отрезка $AP$.

    Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $BD_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.
    a) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат.
    б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_1$, если $AA_1 = 6$, $AB = 4$.

    В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB$ равна 6, а боковое ребро $AA_1$ равно 3. На ребре $AB$ отмечена точка $K$ так, что $AK = 1$. Точки $M$ и $L$ — середины ребер $A_1C_1$ и $B_1C_1$ соответственно. Плоскость $\gamma$ параллельна прямой $AC$ и содержит точки $K$ и $L$.
    а) Докажите, что прямая $BM$ перпендикулярна плоскости $\gamma$;
    б) Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $\gamma$.

    Читайте также:  ВС пояснил порядок взаиморасчетов сторон при наличии отлагательного условия об оплате

    Дана правильная четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На ребре $AA_1$ отмечена точка $K$ так, что $AK : KA_1 = 1 : 2$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $B$ и $K$ параллельно прямой $AC$. Эта плоскость пересекает ребро $DD_1$ в точке $M$.
    а) Докажите, что $DM : MD_1 = 2 : 1$.
    б) Найдите площадь сечения, если $AB = 4$, $AA_1 = 6$.

    Подборка заданий прошлых лет

    1. В прямом круговом конусе с вершиной $S$ и центром основания $O$ радиус основания равен 13, а высота равна $3\sqrt<41>$. Точки $A$ и $B$ — концы образующих, $M$ — середина $SA$, $N$ — точка в плоскости основания такая, что прямая $MN$ параллельна прямой $SB$.
      а) Докажите что угол $ANO$ — прямой.
      б) Найдите угол между $MB$ и плоскостью основания, если дополнительно известно что $AB = 10$.
      (ЕГЭ-2019, досрочная волна, резервный день)
    2. В треугольной пирамиде $SABC$ $SB=SC=AC=AB=\sqrt<17>$, $SA= BC = 2\sqrt5$.
      а) Докажите, что прямые $BC$ и $SA$ перпендикулярны.
      б) Найдите расстояние между прямыми $BC$ и $SA$.
      (ЕГЭ-2019, досрочная волна)
    3. В треугольной пирамиде $SABC$ $SB=SC=\sqrt<17>$, $AB=AC=\sqrt<29>$, $SA= BC = 2\sqrt5$.
      а) Докажите, что прямые $BC$ и $SA$ перпендикулярны.
      б) Найдите угол между прямой $SA$ и плоскостью $SBC$.
      (ЕГЭ-2019, досрочная волна)
    4. Дана правильная четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На ребре $AA_1$ отмечена точка $K$ так, что $AK : KA_1 = 1 : 2$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $B$ и $K$ параллельно прямой $AC$. Эта плоскость пересекает ребро $DD_1$ в точке $M$.
      а) Докажите, что $DM : MD_1 = 2 : 1$.
      б) Найдите площадь сечения, если $AB = 4$, $AA_1 = 6$.
      (ЕГЭ-2018, досрочная волна)
    5. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все рёбра равны

    2. Точка $M$ — середина ребра $AA_1$.
    а) Докажите, что прямые $MB$ и $B_1C$ перпендикулярны.
    б) Найдите расстояние между прямыми $MB$ и $B_1C$.
    (ЕГЭ-2018, досрочная волна, резервный день)

  • На окружности одного из оснований прямого кругового цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$ — образующая цилиндра, а отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра.
    а) Докажите, что угол $C_1BA$ прямой.
    б) Найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$, если $AB=12$, $BB_1=4$ и $B_1C_1 = 3$.
    (ЕГЭ-2018, основная волна)
  • На окружности одного из оснований прямого кругового цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$ — образующая цилиндра, а отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра.
    а) Докажите, что угол $ABC_1$ прямой.
    б) Найдите угол между прямыми $BB_1$ и $AC_1$, если $AB = 6$, $BB_1 = 15$, $B_1C_1 = 8$.
    (ЕГЭ-2018, основная волна)
  • На окружности одного из оснований прямого кругового цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём $CC_1$ — образующая цилиндра, а $AC$ — диаметр основания. Известно, что $\angle ACB = 30^<\circ>$, $AB = \sqrt2$, $CC_1 = 2$.
    а) Докажите,что угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен $45^<\circ>$.
    б) Найдите объём цилиндра.
    (ЕГЭ-2018, основная волна)
  • В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все ребра равны 6.
    а) Докажите, что угол между прямыми $AC$ и $BC_1$ равен $60^<\circ>$.
    б) Найдите расстояние между прямыми $AC$ и $BC_1$.
    (ЕГЭ-2018, основная волна)
  • На ребре $AB$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ отмечена точка $Q$, причём $AQ:OB=1:2$. Точка $P$ — середина ребра $AS$.
    а) Докажите, что плоскость $DPQ$ перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
    б) Найдите площадь сечения $DPQ$, если площадь сечения $DSB$ равна 6.
    (ЕГЭ-2018, основная волна, резервный день)
  • В правильном тетраэдре $ABCD$ точка $H$ — центр грани $ABC$, а точка $M$ — середина ребра $CD$.
    а) Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны.
    б) Найдите угол между прямыми $DH$ и $BM$.
    (ЕГЭ-2018, основная волна, резервный день)
  • Основанием прямой четырехугольной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является ромб $ABCD$, $AB = AA_1$.
    а) Докажите, что прямые $A_1C$ и $BD$ перпендикулярны.
    б) Найдите объем призмы, если $A_1C = BD = 2$.
    (ЕГЭ-2017, основная волна, резервный день)
  • В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ все ребра равны 5. На ребрах $SA$, $AB$, $BC$ взяты точки $P$, $Q$, $R$ соответственно так, что $PA = AQ = RC = 2$.
    а) Докажите, что плоскость $PQR$ перпендикулярна ребру $SD$.
    б) Найдите расстояние от вершины $D$ до плоскости $PQR$.
    (ЕГЭ-2017, основная волна, резервный день)
  • В треугольной пирамиде $PABC$ с основанием $ABC$ известно, что $AB = 17$, $PB = 10$, $\cos \angle PBA = \dfrac<32><85>$. Основанием высоты этой пирамиды является точка $C$. Прямые $PA$ и $BC$ перпендикулярны.
    а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.
    б) Найдите объем пирамиды $PABC$.
    (ЕГЭ-2017, основная волна, резервный день)
  • Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 6. Точки $K$, $L$ и $M$ — центры граней $ABCD$, $AA_1D_1D$ и $CC_1D_1D$ соответственно.
    а) Докажите, что $B_1KLM$ — правильная пирамида.
    б) Найдите объём $B_1KLM$.
    (ЕГЭ-2017, основная волна)
  • В треугольной пирамиде $SABC$ известны боковые рёбра: $SA = SB = 7$, $CS = 5$. Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы $CM$ треугольника $ABC$. Эта высота равна 4.
    а) Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.
    б) Найдите объём пирамиды $SABC$.
    (ЕГЭ-2017, основная волна)
  • Основанием прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Диагонали боковых граней $AA_1B_1B$ и $BB_1C_1C$ равны 15 и 9 соответственно, $AB = 13$.
    а) Докажите, что треугольник $BA_1C_1$ прямоугольный.
    б) Найдите объём пирамиды $AA_1C_1B$.
    (ЕГЭ-2017, основная волна)
  • Основанием прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Прямые $CA_1$ и $AB_1$ перпендикулярны.
    а) Докажите, что $AA_1 = AC$.
    б) Найдите расстояние между прямыми $CA_1$ и $AB_1$, если $AC = 6$, $BC = 3$.
    (ЕГЭ-2017, основная волна)
  • На ребрах $AB$ и $BC$ треугольной пирамиды $ABCD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $AM:MB = CN:NB = 1:3$. Точки $P$ и $Q$ — середины сторон $DA$ и $DC$ соответственно.
    а) Доказать, что $P$, $Q$, $M$ и $N$ лежат в одной плоскости.
    б) Найти отношение объемов многогранников, на которые плоскость $PQM$ разбивает пирамиду.
    (ЕГЭ-2017, основная волна)
  • Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$ содержащей прямую $BD_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.
    а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат.
    б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_1$, если $AA_1 = 6$, $AB = 4$.
    (ЕГЭ-2017, досрочная волна)
  • В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона $AB$ основания равна 12, а высота призмы равна 2. На рёбрах $B_1C_1$ и $AB$ отмечены точки $P$ и $Q$ соответственно, причём $PC_1 = 3$, а $AQ = 4$. Плоскость $A_1PQ$ пересекает ребро $BC$ в точке $M$.
    а) Докажите, что точка $M$ является серединой ребра $BC$.
    б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $A_1PQ$.
    (ЕГЭ-2016, основная волна)
  • На рёбрах $DD_1$ и $BB_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 12 отмечены точки $P$ и $Q$ соответственно, причём $DP = 10$, а $B_1Q = 4$. Плоскость $A_1PQ$ пересекает ребро $CC_1$ в точке $M$.
    а) Докажите, что точка $M$ является серединой ребра $CC_1$.
    б) Найдите расстояние от точки $C_1$ до плоскости $A_1PQ$.
    (ЕГЭ-2016, основная волна)
  • В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона $AB$ основания равна $2\sqrt<3>$, а высота $SH$ пирамиды равна 3. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $CD$ и $AB$, соответственно, а $NT$ — высота пирамиды $NSCD$ с вершиной $N$ и основанием $SCD$.
    а) Докажите, что точка $T$ является серединой $SM$.
    б) Найдите расстояние между $NT$ и $SC$.
    (ЕГЭ-2016, основная волна)
  • В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона $AB$ основания равна 6, а боковое ребро $AA_1$ равно $3\sqrt2$. На ребрах $BC$ и $C_1D_1$ отмечены точки $K$ и $L$ соответственно, причём $BK = 4$, $C_1L = 5$. Плоскость $\gamma$ параллельна прямой $BD$ и содержит точки $K$ и $L$.
    а) Докажите, что прямая $AC_1$ перпендикулярна плоскости $\gamma$;
    б) Найдите расстояние от точки $B_1$ до плоскости $\gamma$.
    (ЕГЭ-2016, основная волна)
  • В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона $AB$ основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах $AB$, $CD$ и $AS$ отмечены точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, причём $AM = DN = 4$ и $AK = 3$.
    а) Докажите, что плоскости $MNK$ и $SBC$ параллельны.
    б) Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости $SBC$.
    (ЕГЭ-2016, основная волна)
  • В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все рёбра равны 8. На рёбрах $AA_1$ и $CC_1$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $AM = 3$, $CN = 1$.
    а) Докажите, что плоскость $MNB_1$ разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.
    б) Найдите объём тетраэдра $MNBB_1$.
    (ЕГЭ-2016, досрочная волна)
  • В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона $AB$ основания равна 6, а боковое ребро $AA_1$ равно $3\sqrt2$. На ребрах $BC$ и $C_1D_1$ отмечены точки $K$ и $L$ соответственно, причём $BK = 4$, $C_1L = 5$. Плоскость $\gamma$ параллельна прямой $BD$ и содержит точки $K$ и $L$.
    а) Докажите, что прямая $AC_1$ перпендикулярна плоскости $\gamma$;
    б) Найдите расстояние от точки $B_1$ до плоскости $\gamma$.
    (ЕГЭ-2016, основная волна)
  • В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона $AB$ основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах $AB$, $CD$ и $AS$ отмечены точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, причём $AM = DN = 4$ и $AK = 3$.
    а) Докажите, что плоскости $MNK$ и $SBC$ параллельны.
    б) Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости $SBC$.
    (ЕГЭ-2016, основная волна)
  • В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все рёбра равны 8. На рёбрах $AA_1$ и $CC_1$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $AM = 3$, $CN = 1$.
    а) Докажите, что плоскость $MNB_1$ разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.
    б) Найдите объём тетраэдра $MNBB_1$.
    (ЕГЭ-2016, досрочная волна)
  • Дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, все рёбра которой равны 6. Через точки $A$, $C_1$ и середину $T$ ребра $A_1B_1$ проведена плоскость.
    а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
    б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью $ABC$.
    (ЕГЭ-2016, досрочная волна)
  • В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона основания $AB = 6$, а боковое ребро $AA_1 = 4\sqrt3$. На рёбрах $AB$, $A_1D_1$ и $C_1D_1$ отмечены точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, причём $AM = A_1N = C_1K = 1$.
    а) Пусть $L$ — точка пересечения плоскости $MNK$ с ребром $BC$. Докажите, что $MNKL$ — квадрат.
    б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $MNK$.
    (ЕГЭ-2016, досрочная волна)
  • В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB$ равна 24, а боковое ребро $SA$ равно 19. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $SA$ и $SB$ соответственно. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $MN$ и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
    а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит медиану $CE$ основания в отношении $5 : 1$, считая от точки $C$.
    б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды $SABC$ плоскостью $\alpha$.
    (ЕГЭ-2015, основная волна)
  • В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все рёбра равны 4. На его ребре $BB_1$ отмечена точка $K$ так, что $KB = 3$. Через точки $K$ и $C_1$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная прямой $BD_1$.
    а) Докажите, что $A_1P: PB_1 = 2:1$, где $P$ — точка пересечения плоскости $\alpha$ с ребром $A_1B_1$.
    б) Найдите угол наклона плоскости $\alpha$ к плоскости грани $BB_1C_1C$.
    (ЕГЭ-2015, досрочная волна)
  • Источник