Меню

Ответы на 2 модуль по предмету Исследование операций и методы оптимизации

Ответы на 2 модуль по предмету «Исследование операций и методы оптимизации»

Ответы на 2 модуль по предмету «ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ»

1

1) Проверить выполнение баланса и привести транспортную задачу к виду, где условие баланса выполнено. Затем решить. Матрица стоимости перевозок имеет вид:
Вектор запасов A =(120,85,75).
Вектор заявок B =(90,70,60,80).
Σ ai
f* = 3

4) Сформулировать и решить транспортную задачу. Исходный опорный план найти методом минимального элемента. Матрица стоимости перевозок имеет вид:
Вектор запасов A =(35,40,40)
Вектор заявок B =(25,25,55)
F1=775, F2=700, F3=660, F4=655

5) Проверить выполнение баланса и привести транспортную задачу к виду, где условие баланса выполнено. Затем решить. Матрица стоимости перевозок имеет вид:
Вектор запасов A =(45,35,70,60).
Вектор заявок B =(40,35,55,60).
Σ ai >=Σ bj , F1=1130(1490?), F2 =795

6) Фабрика производит два лака — для внутренних и наружных работ. Для производства лаков используется два исходных продукта — нефть и кислота. Максимально возможные суточные запасы для этих продуктов определяются емкостями их хранения и равны 6 и 8 тонн (т), соответственно. Для производства 1 т лака для внутренних работ расходуется 1 т нефти и 2 т кислоты, а для производства 1 т лака для наружных работ расходуется 2 т нефти и 1 т кислоты. Суточный спрос на лак для наружных работ не превышает 2 т. Спрос на лак для внутренних работ неограничен.
Доход от реализации 1 т лака для внутренних работ равен 3 млн рублей, а доход от реализации 1 т лака для наружных работ — 2 млн рублей.
Необходимо определить, какое количество лака каждого вида должна производить фабрика в сутки, чтобы доход от его реализации был максимальным.
3×1 + 2×2→ max, x1 + 2×2≤ 6, 2×1+x2 ≤ 8, x2≤ 2, x1 ≥ 0, x2≥ 0

7) Фирма Лявон производит 2 типа деревянных игрушек: крестьяне (КР) и коровы (КО). КР продается за 27$ и требует материалов стоимости 10 $ и нематериальных расходов на сумму 14 $. КО стоит 21 $, требует материалов на 9 $ и нематериальных расходов в размере 10 $.
Производство игрушек включает 2 типа работ: резьбу и окраску. КР требует 1 час резьбы и 2 часа окраски. КО требует 1 час резьбы и 1 час окраски.
Каждую неделю Лявон получает все необходимые расходные материалы, но может использовать не более 80 часов для резьбы и не более 100 часов для окраски. Заказы на КР не превосходят 40 в неделю, а заказы на КО неограничены. Лявон желает максимизировать недельный доход (стоимость проданных игрушек минус расходы). Построить математическую модель и решить (x1 — КР, x2 — КО, z — целевая функция).
x*1 =20, x*2 =60, z* = 180 $

1

8) Решить графически задачу линейного программирования вида

f* = 5/2+3

1

9) Решить графически задачу линейного программирования вида

f* = 10

Источник

Исследование операций: что, когда и как

Data Science

Несколько расплывчатый термин “исследование операций” был придуман в Первую мировую войну. Британские военные собрали группу ученых для распределения недостаточных ресурсов — например, еды, медикаментов, оружия, войск и т.д. — наиболее эффективным способом между различными военными операциями. Таким образом, термин “операции” происходит из “военных операций”. Вычисление военных операций было успешным, и в университетах в 40-ых годах исследование операций стало отдельной академической дисциплиной.

Если погуглить “исследование операций”, вам попадется длинная статья на Википедии, однако объяснение в ней немного клишированное и, честно говоря, устаревшее. Поэтому я решила добавить к предмету, который изучала в аспирантуре, дополнительное приятное объяснение: он этого заслуживает.

1. Исследование операций одним словом: оптимизация.

Скажем, мы принимаем решение. Что нужно сделать, чтобы принять наилучшее возможное решение?

Оценить все возможные варианты, взвесив плюсы и минусы каждого.

Например, для составления основного плана маршрута Uber должен решать, какого водителя нужно отправить, куда, когда, и сколько ему должны заплатить клиенты. И эти решения должны приниматься с оптимальным использованием доступных ресурсов.

Я не знаю, какова целевая функция Uber,но есть нечто, что они пытаются максимизировать, управляя распределением водителей. Допустим, это прибыль. С каждым распределением связаны определенные затраты, и план маршрута должен соответствовать ограничениям, специфичным для политики Uber.

Исследование операций одним предложением: добиваться наилучших результатов в условиях ограничений

В математических терминах проблема выше может быть записана так:

Подобный способ формулировки называется оптимизация или математическое программирование.

Существуют целевые функции X, которые нужно максимизировать (прибыль) или минимизировать (затраты, потери, риски и прочие нежелательные события), они называются переменными решения. Их нам и нужно скорректировать. Например, каждый X может быть водителем. X_i=1 означает, что водитель i выбран и отправляется к клиенту, X_i=0 означает, что водитель не выбран. Cограничения. Например, у каждой машины есть расстояние до потенциального клиента, водители могут работать ограниченное количество часов в день, на каждой дороге есть ограничение скорости и каждая машина может взять определенное максимальное число пассажиров.

Это самый распространенный пример исследования операций.

2. Основные классы проблем в ИО

Большинство проблем в ИО попадает в одну из трех категорий.

Ⅰ. Оптимизация

  • Математическое программирование: как в примере выше с Uber, мы выбираем переменные решения (водители для распределения), целевую функцию (максимизировать прибыль)и задаем ограничения (физические, технические, экономические, экологические, правовые, общественные и т.д.). Затем решаем их математически.
  • Численная оптимизация: может быть градиентной и неградиентной. Градиентный спуск, один из наиболее популярных алгоритмов в машинном обучении, — это градиентная оптимизация. Существует множество неградиентных алгоритмов (оптимизация без производной), например байесовская оптимизация, алгоритм кукушки, генетический алгоритм и прочие. Неградиентные алгоритмы используются, если целевая функция не является гладкой или закрытая форма функции недоступна.

Машинное обучение тесно связано с оптимизацией. Многие проблемы машинного обучения формулируются как минимизация функций потерь. В процессе обучения алгоритм оптимизации минимизирует потери тренировочного набора. Однако конечная цель машинного обучения — минимизировать потери скрытых данных. Таким образом, машинное обучение — это проблема оптимизации с целью “обобщения”.

Ⅱ. Вероятностное моделирование

Вероятностная модель выводит распределение вероятностей, а детерминистическая модель выводит один возможный результат для события.

Одна из наиболее известных вероятностных моделей — это перекрестная энтропия, функция потерь, часто используемая для прогнозирования распределения вероятностей по цели. Байесовский вывод и оценка апостериорного максимума также являются важными применениями вероятностного моделирования.

Ⅲ. Имитация

Имитация используется для усреднения распределения вероятностей, когда его дифференцирование неудобно. Она использует повторную случайную выборку и получает численные результаты. Идея в том, чтобы использовать случайность для решения проблем, которые могут быть детерминированными по своей природе. У имитации множество применений: создание графиков различных распределений вероятности, численное интегрирование, обучение с подкреплением, оценки опционов и т.д.

3. Применение в реальной жизни

Исследование операций применимо к огромному количеству задач в реальной жизни.

  • Координирование (назначение водителей Uber клиентам).
  • Планирование (планирование расписания нескольких ТВ шоу для достижения максимально возможного количества просмотров).
  • Финансовый инжиниринг (распределение активов, управление рисками, ценообразование деривативов, управление портфелем ценных бумаг и т.д.).
  • Умные торги на YouTube. Автоматическая система открытых торгов для алгоритмической рекламы, определяющая, какую величину прироста можно отнести к определенному показу и сколько нужно за это заплатить.
  • Наука о ценах (цены на авиабилеты).
  • Построение маршрутов (основной план маршрута автобусов, чтобы нужда в них была наименьшей).
  • Расположение объектов (выбор наиболее приемлемого расположения новых объектов, таких как склады, фабрики или пожарные станции).
  • Оптимизация сети (пакетная маршрутизация).

Не в последнюю очередь… Головоломки (технические интервью)!

Головоломки из исследования операций часто попадаются в технических интервью, по крайней мере в FAAMG. Лично мне задали две из трех задач ниже.

  • Задача N королев: как расположить N королев на шахматной доске N x N так, чтобы ни одна из них не смогла атаковать другую. Две королевы не должны располагаться на одной и той же строке, столбце или диагонали.

Решение

  • Задача коммивояжера: классическая задача исследования операций. Коммивояжер встречается с несколькими клиентами в различных городах. Какой путь туда и обратно будет наиболее коротким? С математической точки зрения, с учетом ориентированного гранично-взвешенного графа, каков самый короткий цикличный путь, который ровно один раз пройдет через каждый узел?
  • Диета Стиглера: названа в честь лауреата Нобелевской премии по экономике Джорджа Стиглера, который рассчитал недорогой способ удовлетворить базовые потребности в питательных веществах, учитывая заданный набор продуктов. Это классическая задача линейной оптимизации. Как выбрать набор продуктов, удовлетворяющий ежедневной норме питательных веществ при минимальных затратах?
Читайте также:  Патогенез демпинг синдрома обусловлен тест

Решение

4. Предметы для освоения исследования операций.

Я изучала исследование операций в Колумбийском университете в магистратуре, и вот четыре обязательных предмета.

i. Теория вероятностей

Здесь мы узнали об описательной статистике, о том, как создавать статистические модели, о статистике выводов, таких как поиск оценки максимального правдоподобия и построение интервалов доверия. Также изучили многомерные распределения, условную независимость, суммы независимых случайных величин, производящую функцию момента, закон больших чисел, центральную предельную теорему, законы бесконечного делимого и прочее.

ii. Детерминированная модель

С детерминированной моделью вы получаете одинаковые результаты для определенных входных данных, независимо от того, сколько раз вы перезапустите модель. Другими словами, в детерминированной модели нет случайностей, что не очень похоже на ситуации из реального мира. На этом предмете мы изучили формулирование задач, линейное программирование, симплексный алгоритм, динамическое программирование, теорию двойственности, теорию чувствительности и т.д.

iii. Стохастическая модель

В исследовании операций мы изучили такие методы стохастического моделирования, как цепи Маркова, процессы рождения и смерти, пуассоновы процессы, задачу о разорении игрока, броуновское движение и т.д. Для меня это был самый интересный и трудный предмет в программе.

Эти методы можно применять и в обучении с подкреплением (исследовании стохастических процессов), финансовом инжиниринге (ценообразовании, опционах с правом продажи, опцион-корзинах, измерении страхового риска и т.д.), организации очередей, моделирования надежности, товаров и прочих.

В отличие от детерминированных моделей стохастические учитывают случайность. Следовательно, та же самая модель с теми же параметрами может выдавать различные результаты.

iV. Имитация

Здесь нам рассказывали, как получать случайные переменные из различных распределений, метод Монте-Карло, стратифицированную выборку, метод принятия-отклонения, технику уменьшения дисперсии для повышения эффективности имитации, цепь Маркова Монте-Карло, выборку Гиббса, методы статистической проверки для проверки имитационной модели, анализ моделируемых результатов и т.д.

Мы могли изучить множество факультативных предметов: теорию игр, машинное обучение (извлечение данных), расширенную оптимизацию, нелинейную оптимизацию, стохастическое управление, действительный анализ, финансовый инжиниринг, распределение активов, модели ценообразования, управление финансовыми рисками, моделирование кредитных рисков, структурированные и гибридные продукты, глубокое обучение, управление цепочками поставок, логистику и т.д.

5. Профессии

Сейчас мои сокурсники работают в совершенно различных областях.

Многие работают в финансовой индустрии. Возможно, потому что мой университет был расположен близко к Уолл Стрит. Они работают в различных направлениях, например в управлении рисками, трейдинге, количественном анализе, даже в продажах или инвестиционном банковском бизнесе.

Многие стали специалистами в области данных и прикладных технологий в технических компаниях. Azure и AWS нанимают большое количество специалистов по данным для оптимизации времени простоя облака, распределения мощности, оценки потребностей в режиме реального времени и т.д. Команды ценообразования и планирования в сервисных компаниях (Uber, Lyft, AmazonPrimeNow, Doordash) ищут специалистов по исследованию операций для научных целей. У команд, занимающихся алгоритмическими ставками (Adtech) в социальных медиа (Twitter, Facebook, YouTube, etc.), существует множество задач для специалистов в исследовании операций: ценообразование системы алгоритмических торгов, настройки аудиторий, прогнозирующее моделирование для привлечения пользователей и т.д.

Я, к примеру, начала свою карьеру сразу после получения диплома в качестве дилера по производным финансовым инструментам в компании, предоставляющей финансовые услуги. Затем в качестве специалиста по данным я присоединилась к стартапу, занимающемуся рекламными технологиями. Сейчас я работаю в Microsoft инжнером-исследователем над задачей обработки естественного языка по ответам на вопросы.

Если вы хорошо разбираетесь в исследовании операций, применимом и в математике, диапазон отраслей для выбора работы очень широк.

  1. Согласно “Теореме об отсутствии бесплатных обедов”, не существует единственного конкретного алгоритма оптимизации, наилучшим образом подходящего к любой задаче.

“Мы показали, что все алгоритмы, занимающиеся поиском экстремума функции потерь работают точно так же, когда усредняются по всем возможным функциям потерь. В частности, если алгоритм А превосходит алгоритм B для некоторых функций потерь, то, грубо говоря, должно существовать столько же функций, для которых B превосходит А.

Следовательно, выбор алгоритма оптимизации должен зависеть от задачи. Например, когда я тренирую модели глубокого обучения обработки естественного языка, одним из лучших алгоритмов является ADAM, потому что он работает хорошо и быстро. Я никогда не использую I L-BFGS, даже если он теоретически быстрее сходится, потому что, по моему опыту, стохастический градиентный спуск так же хорош, как и алгоритмы второго порядка с точки зрения времени обучения и конечного результата. Однако существуют задачи, в которых L-BFGS превосходит SGD.

“Наши экспериментальные результаты показывают сильные и слабые стороны различных методов оптимизации. L-BFGS высококонкурентна и иногда превосходит SGD/CG для низкоразмерных задач, особенно для сверточных моделей. Для высокоразмерных задач CG более конкурентна и обычно превосходит L-BFGS и SGD. Кроме того, использование крупных мини-пакетов и поиска строк с SGD может повысить производительность.”

2. У Google есть хорошее бесплатное приложение OR-Tools, у которого есть решающие программы для:

  • программирования с учетом ограничений;
  • линейного и частично-целочисленного программирования;
  • задачи упаковки в контейнеры и алгоритмов укладки рюкзака;
  • алгоритмов для задачи коммивояжера;
  • задачи маршрутизации автомобилей;
  • графовых алгоритмов (кратчайший путь, минимальный поток затрат, максимальный поток, линейное назначение суммы) и т.д.

Источник



Тест по дисциплине «Исследование операций»

Тест по дисциплине «Исследование операций»

(верные ответы — первые)

1. Термин «исследование операций” появился …

в годы второй мировой войны

в 50-ые годы XX века

в 60-ые годы XX века

в 70-ые годы XX века

в 90-ые годы XX века

в начале XXI века

2. Под исследованием операций понимают (выберите наиболее подходящий вариант) …

комплекс научных методов для решения задач эффективного управления организационными системами

комплекс мер, предпринимаемых для реализации определенных операций

комплекс методов реализации задуманного плана

научные методы распределения ресурсов при организации производства

3. Упорядочьте этапы, через которые, как правило, проходит любое операционное исследование:

построение содержательной (вербальной) модели рассматриваемого объекта (процесса)

построение математической модели

решение задач, сформулированных на базе построенной математической модели

проверка полученных результатов на адекватность природе изучаемой системы

реализация полученного решения на практике

4. В исследовании операций под операцией понимают…

всякое мероприятие (систему действий), объединенное единым замыслом и направленное на достижение какой-либо цели

всякое неуправляемое мероприятие

комплекс технических мероприятий, обеспечивающих производство продуктов потребления

5. Решение называют оптимальным, …

если оно по тем или иным признакам предпочтительнее других

если оно рационально

если оно согласовано с начальством

если оно утверждено общим собранием

6. Математическое программирование …

занимается изучением экстремальных задач и разработкой методов их решения

представляет собой процесс создания программ для компьютера под руководством математиков

занимается решением математических задач на компьютере

7. Задача линейного программирования состоит в …

отыскании наибольшего (наименьшего) значения линейной функции при наличии линейных ограничений

создании линейной программы на избранном языке программирования, предназначенной для решения поставленной задачи

описании линейного алгоритма решения заданной задачи

8. В задаче квадратичного программирования…

целевая функция является квадратичной

область допустимых решения является квадратом

ограничения содержат квадратичные функции

9. В задачах целочисленного программирования…

неизвестные могут принимать только целочисленные значения

целевая функция должна обязательно принять целое значение, а неизвестные могут быть любыми

целевой функцией является числовая константа

10. В задачах параметрического программирования…

целевая функция и/или система ограничений содержит параметр(ы)

область допустимых решения является параллелограммом или параллелепипедом

количество переменных может быть только четным

11. В задачах динамического программирования…

процесс нахождения решения является многоэтапным

необходимо рационализировать производство динамита

требуется оптимизировать использование динамиков

12. Поставлена следующая задача линейного программирования:

F(х1, х2) = 5х1 + 6х2→ mах

0.2х1 + 0.3х2 ≤ 1.8,

0.2х1 + 0.1х2 ≤ 1.2,

0.3х1 + 0.3х2 ≤ 2.4,

х1 ≥ 0, х2 ≥ 0.

Выберите задачу, которая эквивалентна этой задаче.

F(х1, х2)= 5х1 + 6х2 → mах,

2х1 + 3х2 ≤ 18,

Читайте также:  Говорите сделаем Пят рочка развивает программу Обратная связь

2х1 + х2 ≤ 12,

х1 + х2 ≤ 8,

F(х1, х2)= 6х1 + 5х2 → min,

2х1 + 3х2 ≤ 18,

2х1 + х2 ≤ 12,

х1 + х2 ≤ 8,

F(х1, х2)= 50х1 + 60х2 → mах,

2х1 + 3х2 ≤ 18,

2х1 + х2 ≤ 12,

х1 + х2 ≤ 8,

F(х1, х2)= 5х12 + 6х22 → mах,

2х1 + 3х2 ≤ 18,

2х1 + х2 ≤ 12,

3х1 + х2 ≤ 2.4,

13. Целевой функцией задачи линейного программирования может являться функция:

F=12x1+20x2–3x3min

F= →min

F= →max

F= →max.

14. Системой ограничений задачи линейного программирования может являться система:

15. Симплекс-метод — это:

аналитический метод решения основной задачи линейного программирования

метод отыскания области допустимых решений задачи линейного программирования;

графический метод решения основной задачи линейного программирования;

метод приведения общей задачи линейного программирования к каноническому виду.

16. Задача линейного программирования состоит в:

отыскании наибольшего или наименьшего значения линейной функции при наличии линейных ограничений

разработке линейного алгоритма и реализации его на компьютере

составлении и решении системы линейных уравнений

поиске линейной траектории развития процесса, описываемого заданной системой ограничений.

17. Область допустимых решений задачи линейного программирования не может выглядеть так:

18. Целевой функцией задачи линейного программирования может являться функция:

F=12x1+20x2–3x3min

F= →min

F= →max

F= →max.

19.Системой ограничений задачи линейного программирования может являться система:

20. Область допустимых решений задачи линейного программирования имеет вид:

Тогда максимальное значение функции F(х1, х2)= 3х1 + 5х2 равно…

21. Область допустимых решений задачи линейного программирования имеет вид:

Тогда максимальное значение функции F(х1, х2)= 5х1 + 3х2 равно…

22. Область допустимых решений задачи линейного программирования имеет вид:

Тогда максимальное значение функции F(х1, х2)= 2х1 — 2х2 равно…

23. Область допустимых решений задачи линейного программирования имеет вид:

Тогда минимальное значение функции F(х1, х2)= 2х1 — 2х2 равно…

24. Область допустимых решений задачи нелинейного программирования имеет вид:

Тогда максимальное значение функции F(х1, х2)= х2 – х12 равно…

25. Максимальное значение целевой функции F(х1, х2)= 5х1 + 2х2 при ограничениях
х1 + х2 ≤ 6,

х1 ≥ 0, х2 ≥ 0, равно …

26. Малое предприятие производит изделия двух видов. На изготовление одного изделия вида А расходуется 2 кг сырья, на изготовление одного изделия вида В – 1 кг. Всего имеется 60 кг сырья. Требуется составить план производства, обеспечивающий получение наибольшей выручки, если отпускная стоимость одного изделия вида А 3 д. е., вида В — 1 у. е., причем изделий вида А требуется изготовить не более 25, а вида В – не более 30.

Данная задача является …

задачей линейного программирования

задачей, решаемой методом динамического программирования

задачей нелинейного программирования

задачей сетевого планирования.

27. Малое предприятие производит изделия двух видов. На изготовление одного изделия вида А расходуется 2 кг сырья, на изготовление одного изделия вида В – 1 кг. Всего имеется 60 кг сырья. Требуется составить план производства, обеспечивающий получение наибольшей выручки, если отпускная стоимость одного изделия вида А 3 д. е., вида В — 1 у. е., причем изделий вида А требуется изготовить не более 25, а вида В – не более 30.

Целевой функцией данной задачи является функция …

F(x1,x2)=3x1+x2max

F(x1,x2)=25×1+30×2max

F(x1,x2)=2×1+x2max

F(x1,x2)=60 -2×1 — x2min

28. Малое предприятие производит изделия двух видов. На изготовление одного изделия вида А расходуется 2 кг сырья, на изготовление одного изделия вида В – 1 кг. Всего имеется 60 кг сырья. Требуется составить план производства, обеспечивающий получение наибольшей выручки, если отпускная стоимость одного изделия вида А 3 д. е., вида В — 1 у. е., причем изделий вида А требуется изготовить не более 25, а вида В – не более 30

Допустимым планом данной задачи является план:

X=(20,20)

X=(25,15)

X=(20,25)

X=(30,10)

29. В двух пунктах А1 и А2 имеется соответственно 60 и 160 единиц товара. Весь товар нужно перевезти в пункты В1, В2, В3 в количестве 80, 70 и 70 единиц соответственно. Матрица тарифов такова: . Спланируйте перевозки так, чтобы их стоимость была минимальной.

Данная задача является …

задачей нелинейного программирования

задачей о назначениях

30. В двух пунктах А1 и А2 имеется соответственно 60 и 160 единиц товара. Весь товар нужно перевезти в пункты В1, В2, В3 в количестве 80, 70 и 70 единиц соответственно. Матрица тарифов такова: . Спланируйте перевозки так, чтобы их стоимость была минимальной

Опорным планом данной задачи является план:

31. В двух пунктах А1 и А2 имеется соответственно 60 и 160 единиц товара. Весь товар нужно перевезти в пункты В1, В2, В3 в количестве 80, 70 и 70 единиц соответственно. Матрица тарифов такова: . Спланируйте перевозки так, чтобы их стоимость была минимальной.

Целевой функцией данной задачи является функция:

F=4x11+6x12+8x13+5x21+8x22+7x23min

F= →min

F=60x1+160x2+80x3+70x4+705max

F=60x1+160x2–80x3–70x4–705min

32. В двух пунктах А1 и А2 имеется соответственно 60 и 160 единиц товара. Весь товар нужно перевезти в пункты В1, В2, В3 в количестве 80, 70 и 70 единиц соответственно. Матрица тарифов такова: . Спланируйте перевозки так, чтобы их стоимость была минимальной.

Оптимальным планом данной задачи является план:

Источник

Исследование операций и модели экономического поведения

Две противоборствующие стороны пытаются овладеть двумя позициями. Для этого первая сторона располагает тремя подразделениями, вторая — четырьмя подразделениями (например, полками). Каждый из противников может выделить для захвата любой из позиций целое число подразделений (в том числе и нулевое), полностью расходуя ресурсы. Позиция считается занятой той стороной, которая выделила для ее захвата большее число подразделений. Какой вид имеет критерий эффективности первой стороны, если ее цель состоит в захвате максимального числа позиций

  • (Правильный ответ)

Пусть в конечной игре двух лиц X1=<1,2,3,4>, X1=

Какая стратегия первого игрока является наилучшей по гарантированному результату?

  • четвертая стратегия
  • (Правильный ответ) третья стратегия
  • вторая стратегия

Два производителя одного и того же товара могут производить его в объемах 0?xi ?1, i=1,2 . Затраты на выпуск единицы продукции составляют ci(xi)=Cixi,Ci>0 Товар подается на рынке по цене p(x)=1-x , где x=x1+x2 — совокупное предложение товара. Прибыль i -го производителя от выпуска товара в объеме xi описывается функцией M1(x1,x2)=xip(x)-ci(xi) . Указать, какой вид имеет график функции наилучшего ответа второго производителя на известное решение об объеме выпуска первого при C1=0,6,C2=0,4

  • (Правильный ответ)

Пусть в игре двух лиц множества стратегий конечны X1=X2= <1,2>и порядок ходов заранее не определен. Игроку, делающему ход вторым, известен выбор партнера. В какой из игр возникает борьба за право первого хода?

  • (Правильный ответ)

Рынок товара. Зависимость спроса на однородный товар от цены p за единицу товара имеет вид

Поступление товара на рынок описывается функцией предложения

pmin=2 , pmax=12 При какой цене товара имеет баланс спроса и предложения?

  • peq=8
  • peq=7
  • (Правильный ответ) peq=6

Рынок товара. Зависимость спроса на однородный товар от цены p за единицу товара имеет вид

Поступление товара на рынок описывается функцией предложения

pmin=2 , pmax=12 . Является ли цена, определяющая равновесие спроса и предложения, устойчивой, если количество товара, поступающего на рынок в текущий момент, определяется ценой товара в предшествующий момент дискретного времени?

  • равновесие неустойчиво
  • равновесие устойчиво
  • (Правильный ответ) наблюдаются периодические колебания цены

Установить, какие точки являются седловыми для функции M(x,y)=x-y в области 0?x?1,0?y?1 ?

  • (Правильный ответ) (x*,y*)=(1,1)
  • (x*y*)=(1/2,1/2)
  • седловых точек нет
  • (x*y*)=(1,0)

Чему равен минимальный гарантированный проигрыш второго игрока в антагонистической игре с ядром M(x,y)=(x-y)2 и множествами стратегий -1?x?1,-1?y?1 ?

  • v=0
  • (Правильный ответ) v=1
  • v=1/2

Установить, какие точки являются седловыми для функции

в области 0?x?1,0?y?1

  • (x*,y*=(1,0)
  • (x*,y*=(1/2,1/2)
  • (Правильный ответ)

Установить, какие точки являются седловыми для функции

в области 0?x?1,0?y?1

  • (Правильный ответ) (x*,y*=(1/2,1/2)
  • (x*,y*=(1,0)

Укажите деревья, являющиеся позиционной формой антагонистической игры

  • (Правильный ответ)

Какие рулетки реализуют случайный выбор с вероятностями (1/8,7/8)?

  • бросаются три симметричных монеты. Выбирается первое решение, если выпадает один «орел», и второе решение в остальных случаях
  • бросаются три симметричных монеты. Выбирается первое решение, если число выпавших «орлов» меньше трех, и второе решение в остальных случаях
  • (Правильный ответ) бросаются три симметричных монеты. Выбирается первое решение, если выпадают три «орла», и второе решение в остальных случаях

Какие пары чистых стратегий игроков в биматричной игре

являются эффективными, но не являются устойчивыми?

  • (Правильный ответ) i*=2,j*=2
  • i*=1,j*=2
  • i*=2,j*=1

Какие пары чистых стратегий игроков в биматричной игре

являются устойчивыми и не являются эффективными?

  • x*=1,j*=1
  • x*=2,j*=1
  • (Правильный ответ) x*=1,j*=2

Какое решение имеет задача линейного программирования

Указать, какую из задач линейного программирования следует решить для отыскания оптимальной по гарантированному результату стратегии второго игрока

  • max(u1+u2),3u1-u2?1,2u2?1,u1?0, u2?0
  • min(u1+u2),2u1-u2?1,-2u1+u2?1,u1?0, u2?0
  • (Правильный ответ)
    max(u1+u2),4u1+u2?1,3u2?1,u1?0, u2?0
  • min(u1+u2),2u1-2u2?1,-u1+u2?1,u1?0, u2?0

Какой вид имеет множество допустимых сделок с побочными платежами для биматричной игры

  • (Правильный ответ)

Какой вид имеет множество допустимых сделок с побочными платежами для биматричной игры

  • (Правильный ответ)

Задача торга. Продавец (первый игрок) располагает едини-цей неделимого товара. Он решает, какую назначить цену: высокую или низкую. Покупатель (второй игрок) может либо приобрести товар, либо отказаться от покупки. Матрицы доходов в не-которых условных единицах имеют вид Как выглядят оптимальные стратегии угроз при заключении сделки и какую сделку (u+,v+) они порождают?

  • P»=(1,0),Q»=(1,0);u+=2,v+=1
  • P»=(1/2,1/2),Q»=(1,0);u+=3/2,v+=3/2
  • (Правильный ответ) P»=(1,0),Q»=(0,1);u+=3/2,v+=3/2
  • P»=(0,1),Q»=(0,1);u+=3/2,v+=3/2

Обслуживание загородных маршрутов. Известно, что жители больших городов, придерживаясь рационального принципа проведения воскресного отдыха на свежем воздухе, все более охотно выезжают за город, используя автобусный транспорт. Поэтому в выходные дни возникает проблема выделения дополнительных автобусов, следующих в загородные места отдыха. Очевидно, что потребность в дополнительном транспорте зависит от погоды в выходной день. Функция потерь транспортного предприятия, вычисленная на основе прошлых лет, имеет вид Графики функций математического ожидания потерь (функций риска) ?=?(??i),1?i?3 в зависимости от априорного распределения вероятностей ?=(?,1-?),0. 1 на состояниях природы <плохая, хорошая>= <1, 2>имеют вид Пусть в задаче обслуживания загородных маршрутов диспетчер принимает решение с учетом показаний барометра, причем, в силу несовершенства прибора, показания <дождь, переменно, ясно, очень сухо>= связаны с состоянием погоды стохастически:

Сколько решающих функций (правил преобразования показаний барометра в решения) имеется у диспетчера?

  • (Правильный ответ) восемьдесят одна
  • шестьдесят четыре
  • четыре
  • двенадцать

Контроль качества продукции. Заказчик, осуществляя приемку у исполнителя сложного технического изделия, может выбрать одно из двух решений: признать изделие годным и принять его в эксплуатацию (покрывая стоимость обнаруженных впоследствии дефектов) либо признать изделие непригодным для эксплуатации и потребовать замены отдельных (возможно, некачественных) узлов. Качество изделия может быть удовлетворительным или неудовлетворительным, в зависимости от соблюдения технологии изготовления изделия. Замена исправных узлов оплачивается заказчиком и составляет условную единицу. Стоимость обнаруженных во время эксплуатации дефектов обходится заказчику в два раза дороже, в остальных случаях потери отсутствуют. Матрица потерь заказчика имеет вид Отношения правдоподобия p(z/2)/p(z/1) для результатов тестирования есть

z1— тестирование прошло успешноz2 — выполнилась большая часть тестовz3— выполнилась меньшая часть тестовz4 — ни один из тестов не выполнилсяp(z/2)/p(z/1)01/35?

Каков вид байесовской решающей функции при равновоз-можных состояниях природы?

  • (Правильный ответ)

Выбор структуры посевов. Руководство сельскохозяйственного предприятия решает проблему выбора участков земли для посадки картофеля. Для хорошего урожая требуется определенное количество влаги. В среднем максимальные урожаи получаются при решении о посадке картофеля на участке, характеризующемся большой влажностью почвы (решение ?2 ) при засушливом лете (второе состояние природы), или при решении о посадке картофеля на сухом участке (решение ?1 ) при дождливом лете (первое состояние природы). Потери сельскохозяйственного предприятия оцениваются матрицей Пусть при решении проблемы выбора участков земли для посадки используется дополнительная информация о состоянии природы, полученная в результате наблюдений за погодой весной, в период посадки. Результаты наблюдений на основе многолетней статистики определяют условные распределения (в зависимости от состояния природы)

z1 — большое количество осадков z2 — малое количество осадковp(z/1)0,60,4p(z/2)0,20,8

Чему равен риск ?(?,d) от применения решающей функции

при априорном распределении вероятностей ?(o.5,0.5) ?

  • (Правильный ответ) 0,6
  • 0,5
  • 2

В статистической игре с единичным испытанием матрица потерь имеет вид

а статистическая связь между состояниями природы и результатами эксперимента описывается таблицей

(см. задачу о выборе маршрута, стр. 312). Функция байесовского риска состоит из трех отрезков, принадлежащих прямым ?=. =0,4?+0,8(1-?),?=4(1-?) и имеет вид Чему равны минимаксные потери статистика?

  • (Правильный ответ) 4/7
  • 4/9
  • 0,5

В статистической игре с единичным испытанием матрица потерь имеет вид

а статистическая связь между состояниями природы и результатами эксперимента описывается таблицей

(см. задачу контроля качества продукции, стр. 310). Функция байесовского риска состоит из трех отрезков, принадлежащих прямым ?=0,4. =0,1?+0,1(1-?)2,?=0,6?(1-?)2 и имеет вид Какая стратегия статистика является минимаксной?

    (Правильный ответ)

Рынок товара. Зависимость спроса на однородный товар от цены p за единицу товара имеет вид

Поступление товара на рынок описывается функцией предложения

pmin=2 , pmax=12 . Пусть посредник при понижении цены осуществляет закупку двух единиц товара, которые сбывает при повышении цены. Чему равна прибыль посредника в результате операции купли-продажи, если в начальный момент времени p=8, S(8)=12

  • ?=2
  • ?=0
  • (Правильный ответ) ?=-2

Позиционная игра. Антагонистическая игра с полной информацией, в которой первым ходит первый игрок, задана деревом Какие стратегии образуют седловую точку ядра антагонистической игры?

  • s=(1,2,1), g=(2,1,1)
  • s=(3,2,1), g=(2,2,1)
  • (Правильный ответ) s=(2,2,2), g=(1,2,2)
  • s=(2,2,1), g=(2,1,2)

Какое утверждение справедливо для биматричной игры

  • в игре имеется единственная ситуация равновесия в чистых стратегиях
  • в игре имеется единственная ситуация равновесия в смешанных стратегиях
  • (Правильный ответ) в игре имеется бесконечное множество ситуаций равновесия в смешанных стратегиях

Какое из утверждений справедливо для биматричной игры

  • в игре имеется единственная ситуация равновесия в классе смешанных стратегий
  • (Правильный ответ) в игре имеется конечное число ситуаций равновесия в классе смешанных стратегий
  • в игре имеется единственная ситуация равновесия в классе чистых стратегий

Какой вид имеет множество допустимых сделок без побочных платежей для биматричной игры

  • (Правильный ответ)

Чему равны гарантированные выигрыши игроков в биматричной игре

  • u*=3,v*=0
  • (Правильный ответ) u*=3/4,v*=0
  • u*=0,v*=1

Какая сделка u0,v0 удовлетворяет аксиомам Нэша для допустимого множества S при гарантированных уровнях u*=2,v*=1 ?

  • u0=6,v0=7/3
  • u0=9/4,v0=9/4
  • u0=4,v0=3
  • (Правильный ответ) u0=7,v0=2

Какой вид имеет паретовская граница множества S?

  • точки (0,3), (3,0), отрезок (1,2.5)(2.5,1)
  • (Правильный ответ) ломаная (0,3)(1,2.5)(2.5,1)(3,0)
  • точки (0,3), (1,2.5), (2.5,1), (3,0)
  • отрезок (1,2.5)(2.5,1)

Задача торга. Продавец (первый игрок) располагает едини-цей неделимого товара. Он решает, какую назначить цену: высокую или низкую. Покупатель (второй игрок) может либо приобрести товар, либо отказаться от покупки. Матрицы доходов в не-которых условных единицах имеют вид Какие решения сторон образуют ситуацию равновесия по Нэшу и к каким выигрышам приводит применение равновесных стратегий?

  • x0=(0,1),y0=(1,0);M1(x0,y0)=1,M2(x0,y0)=2
  • (Правильный ответ) x0=(1,0),y0=(1,0);M1(x0,y0)=2,M2(x0,y0)=1
  • x0=(0,1),y0=(0,1);M1(x0,y0)=0,M2(x0,y0)=0
  • x0=(1/2,1/2),y0=(1,0);M1(x0,y0)=3/2,M2(x0,y0)=3/2 Множество допустимых сделок рассматриваемой задачи торга имеет вид

Дуэль истребитель-бомбардировщик. Пусть в дуэли истребитель-бомбардировщик самолеты летят навстречу друг другу с единичного рас-стояния, и цель первой стороны (истребителя) состоит как в выживании, так и в поражении противника. Дуэль заканчивается, если одна из сторон поразила противника или стороны исчерпали боеприпасы. Вероятности попадания описываются в виде функцийирасстояния между самолетами. Полезность исходов дуэли для первой стороны описывается таблицей

бомбардировщик сбитбомбардировщик уцелелистребитель сбит0-1истребитель уцелел10

Каков вид усредненной полезности истребителя, если каждая из сторон может произвести один выстрел и дуэлянты слышат выстрелы друг друга — дуэль шумная?

  • (Правильный ответ)
  • M(x,y)=p1(x)-p2(y)

Какому типу принадлежит игра , в которой X=,Y=

  • (Правильный ответ) игра с непротивоположными интересами
  • игра антагонистическая
  • игра с идентичными интересами

Чему равен минимальный гарантированный проигрыш второго игрока в антагонистической игре с ядром

и множествами стратегий 0?x?1 , 0?y?1 ?

  • v=1
  • v=0
  • (Правильный ответ) v=1/2

Источник